罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展
1、经典力学里关于运动的第零定律是质量守恒。由于它过于基本所以牛顿没有明确指出，物体的质量被认为独立于速度和任何施加于它的外力，总质量既不产生也不消灭，只是在物体相互作用的时候重新分配。当然，如今我们知道以上内容并不十分正确。
2、这里我们想进一步谈谈哥德尔的不完全性定理.该定理断言,在《数学原理》所给逻辑系统的一阶部分将佩亚诺算术形式化,如果它是相容的,则它一定包含不可判定的命题.而且在这个系统中不能作出关于佩亚诺算术的相容性证明.哥德尔不完全性定理的结论常被说成是对希尔伯特计划的毁灭性打击,然而在此之后,源自这一计划的证明论非但没有终结,相反则成长为一门成熟的数理逻辑分支.关于递归函数的研究,在戴德金的工作中就已经萌芽,现在则由于这种函数在哥德尔的证明中所起的关键作用而受到更为广泛和深入的研究,并且发展为数理逻辑的又一重要分支——递归函数论,它已成为计算机科学不可或缺的支撑学科。(罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展)。
3、1854年，黎曼首次提出“唯一性问题”的。1870年，海涅证明了：当f(x)连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。而此时的康托尔恰好在研究唯一性判别准则时，意识到无穷集合的重要性，就开始了唯一性问题的研究。(罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展)。
4、然而到1920年,希尔伯特就已摒弃了罗素支撑其《数学原理》的逻辑主义哲学,只是将罗素在数理逻辑方面的技术性贡献当作数学形式化的一种工具(24,p.21).
5、25个世纪以来，数学史上发生了多次危机：非欧几何对欧氏几何的冲击、无理数的发现及数的扩张、微积分带来的分析困境；集合论悖论和其他逻辑悖论出现……使得数学大厦一次次面临倒塌的危险……
6、集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数论及代数才最可靠。因为自然数是上帝创造的，其余的是人的工作。他对康托的研究对象和论证手段都表示强烈的反对。由于柏林是当时的数学中心，克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康托及其集合论的发展前途的阻碍作用是非常大的。
7、微积分的建立给我们的启发是：每一个个体在浩瀚的宇宙长河中可以被忽略，但以这些个体为除数计算人类的成就时，这一个个个体就不能是零，正是每个个体不足百年瞬间的不懈努力，极小个体的集合最终汇成人类成就的极限。
8、(6)S的一个元素n属于序列N当且仅当n是S的具有以下两个属性的任一部分K的一个元素:(i)元素1属于K,(ii)j(K)是K的一个部分.
9、 (7)PedoeD.TheGentleArtofMathematics(M).NewYork:DoverPublications,Inc.,19
10、符号=的意思是等于.我们将这一符号当做新的,尽管它具有逻辑符号的形式.
11、可以肯定的是,这一大部头著作几乎没有人完整地读过(物理学家薛定谔甚至戏言,他相信连作者们自己也没有完整地读过它),然而至少它的一部分,也就是第一卷第I部分关于数理逻辑的章节曾被广泛地阅读(17,p.4).在相当长的时间里,这部著作仍然是关于数理逻辑的基本参考文献.对于20世纪20—30年代的一些数学家和逻辑学家来说,《数学原理》也是他们研究的出发点.
12、(8)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P2
13、 在分析严格化道路上真正有影响的一步的是由柯西迈出的,他不仅明确定义了上述微积分的基本概念,而且在此基础上将微积分建成了由定义、定理及其证明和有关各种应用组成的、逻辑上紧密关联的体系．然而他的理论也只能说是“比较严格”，因为人们发现他在证明连续函数积分的存在性以及证明级数收敛判别准则的充分性时，需要实数系的完备性作基础.但当时人们对实数系本身仍然是以直观的方式来理解的,并没有关于实数的明确定义.这不仅造成逻辑上的间隙，而且常常导致错误的结论.例如，由于没有一致收敛概念,柯西曾错误地认为连续的函数项级数收敛，其和函数也连续，且收敛级数可逐项积分.另一个当时普遍存在的错误观点，是认为任何连续函数都可微，例外点只可能是一些孤立的奇点.所以当魏尔斯特拉斯构造出一个处处连续却处处不可微的函数时，曾令数学界大为震惊(5,p.259).因此要实现分析的严格化，首先要使实数系本身严格化.这导致魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔等人在19世纪后半叶开展了以建立严密的实数理论为目标的“分析算术化”运动.尽管他们各自的途径不同，但却有着共同的指导思想，就是用有理数来定义实数，从而最终将实数视作从自然数和整数定义出来的某种东西.他们的工作表明,无需借助几何直观就能够分析地理解实数.问题是自然数和整数就一定可靠吗?克罗内克曾有过一句名言:“上帝创造了整数,其余的一切则是人的工作”(7,p.133),似乎是对此所作的肯定回答.然而,戴德金和其他一些人却并不这样想,他们认为自然数的逻辑结构也应该得到彻底的考查。
14、而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
15、康托尔把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托尔认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托尔来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的，代数数是可数的.康托尔最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。
16、它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
17、人们记住莱布尼茨(1646-1716)，就在于他“建立起一套非常切合实用的符号运算。它们用起来极为方便，简直像在自动进行似的，所以这种表示法至今仍在沿用”
18、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
19、更为重要的是，在19世纪末，尽管还不是很明朗，但已经有许多数学家开始对逻辑原理无限制的适用性感到不安。什么理论能担保它们可以应用于无限集合？如果逻辑原理是人类经验的产物，那么对于它们是否能扩展到没有经验基础的理念结构就是有疑问的。
20、(美)达纳·麦肯齐2012：《无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事》中译本2015北京联合出版公司
21、为了比较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
22、这次危机的关键问题是无穷小量究竟是不是零？两种答案都会产生矛盾，如果无穷小量是零，那么凭什么他当分母？如果无穷小量不是零，那么，凭什么在计算中忽略它的存在。
23、康托尔意识到无穷集合的重要性，勇敢的选择了大家避之不及的无穷进行研究，并连续发表论文论证集合论。
24、毕达哥拉斯是公元前5世纪的古希腊著名数学家与哲学家，他发现了勾股定理，创立了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
25、从以上段落我们了解到,尽管罗素曾接触过弗雷格的著作,但实际上他是在阅读了佩亚诺的书评后才发现弗雷格的.此外,这段文字似乎传达了这样一种印象,即罗素在开始阅读弗雷格的著作时,就已经独立于后者做过他早先所做的事情.然而这一点应该打个问号.很有可能罗素只是有过和弗雷格一样的想法,即算术甚至全部数学可以化归为逻辑.因为在他与怀特海合写的《数学原理》(3卷,1910-1913)第一卷前言中,我们读到了以下文字(16,p.viii-ix):“在记号方面,我们已经尽可能地追随佩亚诺,…在所有关于逻辑分析的问题方面,我们主要得益于弗雷格.”因此,《数学原理》某种意义上可以看作弗雷格和佩亚诺工作的结合.当然,这部著作也包括了罗素本人的重要贡献.其中之一是他为消除悖论而引入的分支类型论.另外,与他的前辈不同,罗素在《数学原理》中所关心的并不是普通算术,而是康托尔的超穷算术.
26、其后几十年，雅各布·伯努利(1654-1705)和约翰·伯努利(1667-1748)兄弟、欧拉(1707-1783)(9)等人又将微积分的研究范围扩展到极限、导数、积分、无穷序列、无穷级数等许多主题的各个方面。(10)其中，欧拉对于微积分的建设居功至伟，“在分析学中，无出其右者”
27、后来柯西用了极限的方法来重新定义了无穷小量，这让微积分更加全面和发展，这也让数学增加了更多的活力。
28、(6)(以)伊莱·马奥尔 1994：《e的故事——一个常数的传奇》(第2版)中译本人民邮电出版社2018年P
29、20世纪初，勒贝格基于集合论，建立了定义更加广泛的勒贝格积分，并且将这场革命推进到了实分析。但微积分的发展并未结束，20世纪60年代初，鲁滨逊(1918-1974)直接选择面对无穷小量，建立了另一种让微积分严密化的方法，与标准分析方法相对，这种方法被称为非标准分析(17)(参见附录)。至此，微积分的发展画上一个圆满的句号。
30、微分的基础是无穷小量。但“像一条数学变色龙，无穷小量看起来不可避免地同时既是零又不是零。从根本上说，它们的存在似乎是自相矛盾和违背直觉的”所以，从十八世纪开始，这个漏洞就招致批评，其中尤以英国大主教伯克莱(1685-1753)(他同时也是数学家)为代表。由此导致出现数学史上的第二次危机(13)(也是微积分创立后的第一次波折)。
31、数理逻辑的基本目标，就是要研究这样的数学基础问题，而研究数学基础问题的第一步，就在于将自然语言实现严谨的公理化。然而自然语言又实在是太扑朔迷离，难以避免的歧义性甚至对我们关于同一命题的交流都会产生阻碍，因而数学家们转向创造一套形式语言，就像用字母代替数进行运算那样，我们也可以用形式语言来代替自然语言进行推理，进而通过对形式语言的公理化来达到自然语言的公理化目标。
32、为了测定可能的运动，我们必需确定所有进出粒子的质量。质量是孤立粒子的内禀性质，也就是说，所有的质子都具有相同的质量，而所有的电子又具有另一个相同的质量，等等。实际上，这些粒子的能量和动量都是由众所周知的公式给出，运动是由能量守恒和动量守恒来约束的。认为进入某个运动状态的质量的总和与离开的质量的总和相等基本上是不正确的。
33、(1)学习完微积分后，我们可以很短的时间算出圆周率，并且比刘微和阿基米德算得结果精确得多(见附录)。
34、波尔查诺是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他向当时的数学家强调了两个集合等价的概念，也就是所谓的一一对应概念，紧接着他还搞了个超限数，提出了悖论，为康托尔创立集合论奠定了基础。
35、有关二十世纪逻辑主义运动的危机以及数学基础的三大流派，逻辑主义、直觉主义、概念主义的分立，蒯因在《论何物存在》这样写道：
36、现在让我们集中注意这个概念：不属于自身的类。因此这个概念的外延(如果我们可以谈论它的外延的话)就是，不属于自身的那些类构成的类。为简化起见，我们称它为类K。那么，这个类K是不是属于自身。首先，让我们假定它属于自身。如果一个东西属于一个类，那么它就归属于以这个类为其外延的概念。这样，如果类K属于自身，那么它就是一个不属于自身的类。因此我们的第一个假定导致自相矛盾。第让我们假定类K不属于自身，这样它就归属于自身为其外延的概念，因此就属于自身。这里我们又一次得到同样的矛盾。(转引自ErnstSnapper，1979)
37、康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超限基数和超限序数的定义，引进了它们的符号；依势的大小把它们排成一个“序列”；规定了它们的加法，乘法和乘方……。
38、最后，回到本文开头的问题上，微积分难不难？难！微积分是对大自然(运动)的计算，其复杂度超乎我们的想像。但微积分又是简单的，因为微积分的规则就是将复杂的计算简单化，比如各种中值定理(参见附录)。微积分的简单还体现在它的神奇之处——看似眼花缭乱的东西(运动)，都能被一一计算出来。任何人只要一想到这点，都会抖擞起精神，克服畏惧，不知不觉就会攻克微积分中一个又一个难点。
39、(20)希尔伯特.数学问题(M).李文林,袁向东,编译.大连:大连理工大学出版社,200
40、随着实数不可数性质的确立，康托尔又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托尔自己起初也是这样认识的。但三年后，康托尔宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托尔本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。
41、无穷大的到来给数学带来了前所未有的繁荣和进步，正所谓树大招风，因为基础及其合法性无法确认一直被质疑，而高斯也在此时“落井下石”。作为一个潜无穷论者，高斯认为无穷只不过是一种谈话方式，代表一种极限(潜无穷)。
42、20世纪，当实数和几何得以建立的基本概念上升到集合论以及最终的数理逻辑的层次上时，“不适当”的严密性也被引入了。在《数学原理》中，罗素和怀特海德在证明1+1=2以前展开了长达375页的密集的数学讨论。公平地说，如果得到那样一个结果是最终目的的话，他们的处理可以缩减很大一部分。但无论如何，从数理逻辑出发，对实数做出合适的定义需要做艰苦而复杂的工作。有了整数，下一步就该考虑有理数以及它们的排序。然后要填补他们之间的空白，使得任何有界的递增数列都有一个极限，那样才算完整地构造了实数。最终(这也是最困难的部分)，你必须证明得到的系统能支撑代数，并且是自洽的。
43、我们引述过的这些问题好比是一根火柴，它能点燃导火索，然后引爆炸弹。一些数学家仍以为数学是一个真理体系，他们希望能建立起这个体系，弗雷格已经在从事这样一项工作。进一步地，对选择公理的反对不仅仅限于该公理所言，以康托尔为代表的数学家们引入了越来越多的理念结构，并认为它们和三角形的概念具有同等真实性。但其他一些人则抵制这些概念，认为它们过于脆弱，不能在上面构造结实的东西。关于康托尔的理论，选择公理和相似概念的基本问题是，数学概念是在何种意义上存在着呢？难道它们必须与物理实体相对应或是其理想化的写照吗？亚里士多德曾经思考过这个问题，对于他和大多数希腊人来说，实体对应物是必不可少的。这就是为什么亚里士多德不肯承认无限集合为一个整体或者存在正七边形的缘故。另一方面，柏拉图主义者—康托尔就是其中之一—都相信他们所信奉的观念存在于独立于人的客观世界中，人们只是发现了这些想法，或如柏拉图所说的，回忆起了它们。
44、“无论如何，牛顿和莱布尼茨显然是独立的发明了运算方法”之所以把微积分发明的功劳登记在两个人的名上根本原因就在于这两人一起确立了微积分统一的系统——虽然之前许多数学家发现的微分与积分的方法都被成功地应用于某些方面，但它们没有融合成一个统一的系统(6)——包括基本发展方向、基本问题和基本符号。
45、 (5)李文林.数学史概论(M).4版.北京:高等教育出版社,20
46、不同于粒子对重力的响应，粒子施加的引力只是近似正比于其自身的质量；严格版本的爱因斯坦场方程将时空曲率与能量-动量密度联系起来。就重力而言，还没有能绕开能量的对物质的量的测量；一般物质的能量由质能关系来支配是不切实际的。
47、建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析。
48、(21)HilbertD.Onthefoundationsoflogicandarithmetic(M).//VanHeijenoortJ.(ed)FromFregetoGödel:ASourceBookinMathematicalLogic,1879-19Cambridge,Massachusetts:HarvardUniversityPress,1967,129-1
49、1870年和1871年，康托尔证明了唯一性定理；1872年，他把海涅提出的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形，然后为了描述这种集合，他引进了点集的导集和导集的导集等重要概念。
50、因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
51、我未来的工作不得不完全投入到抽象意义上的纯粹数学.我将尽全力去阐明人们在分析中确实发现的那些惊人的含糊不清之处.令人奇怪的是,这样一个完全没有计划和体系的分析竟还有那么多人研究过它.更糟糕的是,从没有人严格地处理过分析.在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的.人们到处发现这种从特殊到一般的拙劣推理方法,而特别奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论.
52、蒯因：《蒯因著作集第4卷》，陈启伟等译，中国人民大学出版社，2007年。
53、集合论虽然出身不凡，但还是出现了先天不足。
54、罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x∉S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S。
55、(12)GilliesDA.Frege,Dedekind,andPeanoontheFoundationsofArithmetic(M).Assen:VanGorcum,19
56、然而事情的进展似乎并不如希尔伯特想象的那样乐观.直到1904年第三届国际数学家大会在海德堡召开,希尔伯特在会上作了题为“论逻辑和算术的基础”的演讲(21),才首次尝试为他的算术公理相容性的证明“绘制草图”.与他在1900年考虑这一问题时的想法不同,他这次给出来的方案是后来称为“证明论”的一种雏形.然而,或许是因为没有找到更合适的用于基础研究的形式语言,这之后希尔伯特中断了其关于算术基础的研究,直到1917年才又重新回到这一课题.事实上,希尔伯特所需的形式语言在他的海德堡演讲之后六年才出现在怀特海和罗素的《数学原理》第一卷中.从1914年起,这部书在格丁根希尔伯特的圈子中受到了持续关注和深入研究(22,pp.61-85).起初,希尔伯特非常认真地看待罗素将数学化归为逻辑的方案,并给予高度赞扬.正如我们在他1917年题为“公理思想”的演讲中所看到的(23,p.1113):
57、 (2)BooleG.TheMathematicalAnalysisofLogic(M).Cambridge:Macmillan,18
58、1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间(-π,π)中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。他跨出了集合论的第一步。
59、在微积分中，有一个以两人命名的牛顿-莱布尼茨公式，如下：
60、公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。
61、公理系统的出现让集合论顺理成章地成功公理化，而德国数学家豪斯道夫出版的《集合论大纲》则让集合论顺利成为了系统的学科，致使后来慢慢地成为现代数学的基础。
62、尽管如此，科学家们依旧不断地摸索着，不料发现无穷虽极具潜力，但无力掌握，因此彻底掌握无穷问题成为了奋斗的目标。
63、无穷理论的研究，在当时一直是一个世界性的难题，由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。从1874年开始，康托尔向神秘的“无穷”宣战，他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
64、20世纪初期，另一个问题也开始困扰着数学家们。起初，这个问题还显得不是那么紧要，但是当康托尔的超限基数和序数的理论得到越来越广泛的应用后，对这一问题的解决就变得十分迫切了。
65、“全部”这个词的意义是模糊的。对于某些情况，一些语义上的悖论就源于“全部”这个词的用法。布拉利-福蒂悖论涉及所有序数的类，这个类是否包括整个类自身的序数？另一方面，异己悖论定义了一类单词，这个类是否包括了“异己的”这个词本身？
66、(4)“芝诺悖论”有好几个例子，其中最著名的是“阿基里斯跑不过乌龟”——让乌龟先跑一段路，然后让阿基里斯追，阿基里斯永远跑不过乌龟。具体原因表述为：一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/再走完剩下总路程的1/再走完剩下的1/2……，如此循环下去，永远不能到终点(B点)。
67、你认为一阶语言的表达能力是否已经足够？若是，谈谈理由，若否，提出一些你认为可以进一步扩展一阶语言表达能力的手段。
